Teoría Matemática de la Música de G. Mazzola.

Comenzó hace más dos décadas. Una de las principales metas de 
la Teoría Matemática de la Música es la de desarrollar un marco científico para la Musicología. Este marco posee como fundamento a campos científicos establecidos. Incluye un lenguaje 
formal para los objetos y relaciones musicales y musicológicas. 

La Música está enraizada con realidades físicas, psicológicas y semióticas. Pero la descripción formal de las instancias musicales corresponde al formalismo matemático. 

Está basada en las Teorías de Módulos y Categorías, en la Topología Algebraica y Combinatoria, en la Geometría Algebraica, Teoría de Representaciones, esto es, en matemática de alto nivel. Su propósito es el de describir las estructuras musicales. 
La filosofía detrás de ella es la de comprender los aspectos de la Música que están sujetos al  raciocinio de la misma manera en que la Física puede hacerlo de los fenómenos propios del trabajo científico. Esta teoría está basada: en un lenguaje adecuado para manejar los conceptos relevantes de las estructuras musicales, en un conjunto de postulados o teoremas con respecto a las estructuras musicales sujetas a las condiciones definidas y, en la funcionalidad para la composición y el análisis con o sin computadora. 

Mazzola, en un magnífico artículo panorámico, “Towards Big Science…” cita los elementos de Boulez de un programa de los años sesenta que tiene la intención de que las artes y la ciencia se reconcilien. (Yo diría que los artistas y los científicos). Con este postulado, la invocación de Boulez acerca de la “real imaginación” solamente puede ser concebida mediante la realización virtual (esencial) del sistema complejo teórico y práctico de la Música, de 
sus sonidos y relaciones mediante la tecnología informática de hoy. 

Mazzola continúa: “La Música es una creación central de la vida y pensamiento del ser humano. Que actúa en otra capa de la realidad que la Física. Creemos que el intento de comprender o de componer una obra de gran envergadura en la Música es tan 
importante y difícil como el intento de unificar la gravitación, el electromagnetismo, las fuerzas débiles y fuertes.” “De seguro, las ambiciones son comparables, y por lo tanto, las herramientas deben de ser comparables. 

Mazzola concuerda con Bolulez acerca de que “la Música no puede degenerar o reducirse a una sección de la Matemática: la Música esta fundamentalmente enraizada con las realidades físicas, psicológicas y semióticas. Pero requerimos más métodos 
sofisticados además de los datos empíricos y estadísticos para describir formalmente las instancias musicales. 

En los años ochenta, Mazzola observó que las estructuras musicales son estructuras globales pegadas con datos locales. 
Mazzola utilizó la selección de una cubierta como atlas, la cual es parte del punto de vista en el sentido de Yoneda y Adorno. Las cartas se llaman composiciones locales y consisten (vagamente) de subconjuntos finitos K de módulos M sobre un anillo R. Estas 
cartas K se pegan y comparan mediante isomorfismos de los módulos subyacentes. Tales objetos globales, los cuales generan diferentes categorías se llaman composiciones globales. Éstos son los conceptos estudiados en lo que ahora se conoce como la Teoría 

Matemática Clásica de la Música. 

Mazzola menciona tres paradigmas mayores de la Matemática y Musicología que han ocurrido durante los 150 años que han sido paralelos en la evolución de ambas y la creciente presencia de la Matemática en la Música. Estos son: las estructuras globales, las 
simetrías y la Filosofía de Yoneda. 

La primera quiere decir, en palabras, que las estructuras localmente triviales se pueden juntar en configuraciones estéticas válidas si éstas se pegan de una manera no trivial. 

La segunda, las simetrías y (los fractales) son utilizadas en la composición, aparecen también en la Naturaleza y en la Matemática juegan un papel crucial como también en la Física. 

En cuanto a la tercera: la Filosofía de Yoneda, en palabras dice que, para comprender un objeto, de vueltas alrededor de él. Esto quiere decir, entendimiento mediante el cambio de perspectivas. 
En Matemática, este Lema de Yoneda tiene importantes aplicaciones en el Álgebra Homológica, en la Topología Algebraica y en Geometría Algebraica solamente para mencionar algunas. Dice que un objeto matemático puede clasificarse salvo 
isomorfismo por su funtor. En Música, la partitura es solamente su primera vista y junto con todas sus interpretaciones constituyen su identidad. ¡Qué maravilloso punto de vista para ambos intérprete y audiencia. Deja de lado la estéril competencia fuera del arte y la 
ciencia, como si éstas fueran juegos olímpicos. 

Recientemente, en su artículo “Status Quo 2000”, (el cual hemos apreciado mucho que fuese presentado al mundo en México durante una exposición plenaria espléndida), explica porqué el acercamiento mediante su modelo teórico geométrico de ese tiempo evolucionó a un marco que es apropiado para muchos problemas musicales. Este nuevo marco está basado en Matemática más sofisticada como la Teoría de Topos. 

Con respecto a la Interpretación, Mazzola comenta en sus artículos que, “la Música ha sido estudiada desde el punto de vista de la  65 Estética y la Psico-Fisiológía”. Trabajó en desarrollar una Teoría de la Interpretación que describe las estructuras y procesos que 
definen una interpretación, “aquella que sin las herramientas adecuadas, la Teoría de la Interpretación permanecerá” (y me encanta esta frase) “como una rama de la Literatura en el espíritu de la Crítica Musical”. Pero con esta posibilidad de exhibir variedades algebraicas gramaticales tiene una consecuencia profunda para el problema de la clasificación de interpretaciones. 
Así, el criticismo comparativo se convierte en un campo preciso de investigación y no más un sector de la literatura. 

Muy recientemente, Mazzola produjo una clasificación de objetos musicales, esto es, “existe un esquema algebraico cuyos puntos racionales representan ciertas clases de isomorfismo de composiciones globales”. “Clasificar quiere decir la tarea de comprender totalmente un objeto. Esto es el Lema de Yoneda en su completa implicación filosófica”. “El comprender obras de arte quiere decir sintetizar todas sus perspectivas interpretativas.