Jugando con las permutaciones

El juego de las permutaciones

1.   Se eligen  dos elementos. Para comenzar serán elementos fácilmente reconocibles y que los alumnos conozcan. Pueden ser  notas,figuras,  ritmos o si tuvieran más nivel, frases melódicas. 

Como ejemplo, nuestros elementos van a  ser dos figuras: una blanca y una negra.

2.   Asigna la letra A y B a cada elemento
3.   Permuta (A+B) y (B+A)
4.   Esto nos dará solo dos permutaciones. 

En nuestro caso; A es la blanca, B, la negra.

Mira los ejemplos 1a y 1b, donde las permutaciones son mostradas en un pentagrama simple y uno doble.

1.a

1.b

             

5. Expandiendo las permutaciones a tres elementos  (A+B+C) nos dará seis posibles permutaciones:

A B C     B A C 
A C B     B C A 
C A B     C B A

El ejemplo 2a ilustra estas permutaciones con tres elementos rítmicos. El ejemplo 2b usa los tres ritmos al igual que tres alturas.

2.a

2.b

Según el nivel de los alumnos o el ciclo donde queramos utilizarlo podríamos seguir añadiendo elementos, o haciendo combinaciones de ambos. 

El ejemplo 3a ilustra las permutaciones con cinco notas melódicas y un patrón rítmico repetitivo.

3.a.

VARIANTES

Este juego admite varias posibilidades:

- El profesor plantea en la pizarra una serie de permutaciones y los alumnos las realizan en su cuaderno. 

- El profesor toca con un instrumento de percusión,o con un teclado (puede ser también con el móvil o tablet y las aplicaciones para hacer música) una permutación. El alumno tiene que reconocerlo y escribirlo. Para motivarles una variante sería lo siguiente: el alumno que lo reconozca primero sale a la pizarra, y toca la permutación que ha adivinado y una nueva que él hace.Los compañeros van adivinando, y así sucesivamente con todas las permutaciones posibles.

- El profesor reparte unas cartulinas (como pequeñas fichas, a modo de baraja de cartas), sin mirarlas. Y va interpretando las posibles permutaciones. El alumno que reconzca en alguna de sus cartas la permutación que el profesor ha tocado entrega su carta. El alumno que antes se quede sin cartas gana.

- Crear una obra musical. En este caso se harán con permutaciones de 3 elementos. Los alumnos plantean el orden de las posibles permutaciones. Primero con 3 figuras que escojan, y después con 3 notas. Con los resultados obtenidos lo escribirán en un pentagrama, y a continuación lo interpretarán con flautas o teclados. 

Para finalizar, y a modo de curiosidad, añado la  lista de todas las posibles permutaciones generales usando de dos a 12 elementos. Los usos son numerosos y bastante poderosos!

   Dos elementos:   Dos permutaciones
   Tres elementos:    seis permutaciones
   Cuatro elementos:    24 permutaciones
   Cinco elementos:    120 permutaciones
   Seis  elementos:    720 permutaciones
   Siete elementos:    5.040 permutaciones
   Ocho elementos:    40.320 permutaciones
   Nueve elementos:    362.880 permutaciones
   Diez elementos:    3.628.800 permutaciones
   Once elementos:    39.916.800 permutaciones
   Doce elementos:    479.001.600 permutaciones 

Baraja Española Musical

El objetivo de estos juegos es la familiarización del alumno con los valores de las notas,
mediante un entorno lúdico que motiva al estudiante a participar activamente. Tanto con
la baraja como con los dominós, lo que haremos es identificar el valor de cada nota y
operar con dicho valor. Aunque permiten jugar con los colores, es inevitable conocer los
valores relativos de las notas para poder contar puntos una vez finalizado el juego.
Las figuras tienen un valor relativo cuya relación viene dada por potencias de 2. Así,
una redonda dura lo mismo que dos blancas, que cuatro corcheas, etc. Además, si a una
nota (o silencio) se le añade un punto a la derecha, puntillo, ésta se incrementa en la
mitad de su valor. Así, una negra con puntillo equivale a 3 corcheas. Las equivalencias
entre notas son las siguientes:
                              


A partir de estos valores, podemos diseñar diversos juegos de los que aquí presentamos
una muestra.
Baraja española
Está formada por 48 cartas clasificadas en 4 palos, numerados del 1 al 12, y 2
comodines. Los oros, espadas, copas y bastos tradicionales se han sustituido por figuras
de notas (moradas y verdes) y por silencios (azules y rojos). El 1 es la corchea o silencio
de corchea y el resto de valores se obtienen calculando su equivalencia en corcheas o
silencios. Por ejemplo, dos corcheas (o sus silencios) son el 2, 3 negras y corchea = 7 corcheas representa el 7 del palo e, etc. Con esta baraja se puede jugar a cualquier modalidad para la que se emplee la baraja española y las reglas de juego serán las 
mismas.

El AJEDREZ Y LA MÚSICA

El ajedrez y la música comparten diversas similitudes, ambas expresiones culturales se pueden escribir en un lenguaje propio, lo que permite que se pueda componer, desmenuzar en unidades y combinarlas para lograr nuevas creaciones. Otra característica común es que hay una base matemática de fondo que sin embargo no es en ninguno de los dos casos su parte esencial. También comparten el haber dado lugar a teorías que tratan de explicar la creación o al menos de organizarla o indicar unas pautas regulares.

                                                          

El ajedrez, la música y las matemáticas son campos que tienen una ligazón interna, oculta; es muy significativo que sólo se reconozca a los niños prodigio en estos tres campos, en estas tres disciplinas se produce el hecho de que niños de corta edad puedan realizar actuaciones al nivel de expertos consagrados, como si los pequeños tuvieran un talento natural para entender las normas internas de cada campo, sin necesidad de acumular las enseñanzas y experiencias que forman el bagaje de cualquier profesional. ¿Hacia qué nexo común apunta este hecho? Difícil responder y aún más aportar alguna prueba en el sentido de la respuesta, de todas formas me arriesgo a sugerir que en dichas disciplinas hay un alto grado formal que actúa de soporte a la posterior creación, donde ya entran elementos como la intuición y la imaginación.

Juego de Dados de Mozart

Mozart era un matemático en potencia y manejaba conceptos abstractos matemáticos, aunque de forma inconsciente, y así, al estudiar su obra se encuentran relaciones curiosas con las Matemáticas, como por ejemplo el número Pi, las Homotecias y la combinatoria (un apartado del cálculo de probabilidades).

Así Mozart a los 21 años, en 1777, describe un juego de dados al cual va a asociar una pequeña obra musical. Era un vals de 16 compases, que tituló Juego de Dados Musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición . Decía sobre la composición musical que “Todo está compuesto, pero no escrito todavía”.

Escribió 176 compases adecuadamente y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una:

Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados y anotando la suma del resultado. Tenemos 11 resultados posibles( del 2 al 12). Mozart diseñó dos tablas: una para la primera parte del vals y otra para la segunda. Cada parte consta de 8 compases. Para obtener cada uno de los primeros compases( numerados del I al VIII) se lanza un par de dados y se anota la suma de puntos obteniéndose 8 parejas: (n1, I), (n2, II), (n3, III), (n4,IV), (n5,V), (n6,VI), (n7,VII) y (n8,VIII).Cada pareja se asocia a un número de compases generándose ocho:N1, N2, N3, N4, N5, N6, N7 y N8. Igual para los 8 siguientes.

Se generan así 3800 billones de valses distintos (con una duración aproximada de 30 seg) que si se tocaran de forma continua durarían aproximadamente 361 millones de años.

La mejor forma de entender el juego es creando tu propia composición musical:

                                                     Juego de dados de Mozart

Domino Musical

Se han sustituido los puntos dominó por figuras de notas siguiendo el criterio de suma de tiempos o del valor relativo de las notas. Una vez establecida la equivalencia entre puntos y notas, las reglas del dominó son las habituales.

Dominó de sumas

Si tomamos el valor de la corchea como el 1, dos corcheas o sus silencios, serán el 2, y así sucesivamente. En este dominó, los números no se expresan con una sóla combinación de notas, pero para facilitar el desarrollo del juego se ha coloreado cada número con un color diferente. La equivalencia de puntos es:

 Y las fichas de este dominó son las siguientes:

Dominó de potencias

Se basa en el valor de las figuras. Como hemos visto, una figura es equivalente a las demás multiplicándola por una potencia de 2 adecuada. Tomamos como unidad la semifusa y vemos a cuántas semifusas equivalen las demás notas. En este caso los exponentes del 2 nos proporcionan los puntos del dominó, es decir, tenemos las siguientes equivalencias:

¿No os parece divertido jugar con los niños además de aprender matemáticas?.